一维连续型随机变量函数的分布例题（一）

设随机变量X的概率密度为 $f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{x}{8},x\in (0,4) & & \\ \0,other & & \end{matrix}\right.$ ，求Y=2X+8的概率密度。

令g(x)=Y，即g(x)=2X+8。我们可以得到Y的值域为(8,16)。

方法一：看看Y是不是单调可导的函数

此处Y单调可导。

然后求Y的反函数，即 $\frac{Y-8}{2}=x=h(x)$ 。再对h(x)求导可得 $x'=\frac{1}{2}$ 。

再由公式 $f_Y(y)=f_X[h(y)]\cdot h'(y)$ 我们可得

$\\f_Y(y)=\frac{1}{2}f_X(\frac{y-8}{2})=\frac{1}{2}\cdot \frac{\frac{y-8}{2}}{8} \\ =\frac{y-8}{32}$

再补上定义域即可得到

$f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{y-8}{32},x\in (8,16) & & \\ \0,other & & \end{matrix}\right.$

文章来源地址https://uudwc.com/A/5ZdVe

方法二：如果Y不可导

那就用定义去做。当然如果Y单调可导还是用方法一做比较方便。

已知 $F_Y(y)=P\left \{ Y \leq y \right \}=P\left \{ g(X) \leq y \right \} =P\left \{ X \leq h(y) \right \}=F_X(h(y))$ ，也就是我们直接把Y代入，先得到 $P\left \{ 2X+8<y \right \}=P\left \{ X<\frac{y-8}{2}\right \}$ 。

我们再看看X的取值，最小值只能取到0，那么我们要求的就是 $P\left \{ 0<X<\frac{y-8}{2}\right \}$ 。

再根据定义我们可得 $P\left \{ 0<X<\frac{y-8}{2}\right \} =[F_X(\frac{y-8}{2})-F_X(0)]=f_Y(y)$ 。

同时又因为连续性随机变量的分布函数求导后就可以得到概率密度，我们最后可得

$[F_X(\frac{y-8}{2})-F_X(0)]'=[F_X(\frac{y-8}{2})]'$

把它当作一个复合函数去求导，得到结果 $\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{y-8}{2}}{8}=\frac{y-8}{32}$ 。结果和上面一样，补上y的定义域即可。