F题代码+思路
当大家面临着复杂的数学建模问题时，你是否曾经感到茫然无措？作为2021年美国大学生数学建模比赛的O奖得主，我为大家提供了一套优秀的解题思路，让你轻松应对各种难题。
让我们一起看看研赛的F题呀！全文都已放出哦~
问题重述
1.如何利用双偏振雷达的数据有效改进强对流降水的短临预报?要求建立可以提取双偏振雷达数据中的微物理特征信息的模型,进行0-1小时的降水预报。
2.当前一些数据驱动模型存在“回归到均值”的问题,生成的强降水预报往往过于模糊。要求在问题1的基础上,设计模型以生成更真实、更丰富细节的降水预报结果。
3.要求利用雷达反射率Z_H和差分反射率Z_DR,建立模型进行定量降水估计,即利用这两个变量预测降水量。
4.要求设计模型来评估双偏振雷达数据对强降水预报的贡献,并通过优化数据融合策略,与其他数据源集成,以提高强降水检测与预报的准确性。
问题一
1.输入输出设计
输入:
X
=
X
t
−
9
,
.
.
.
,
X
t
X=Xt−9 ,...,Xt
X=Xt−9,...,Xt
其中
X
t
∈
R
H
×
W
×
C
Xt ∈RH×W×C
Xt∈RH×W×C表示时刻t的雷达图像,H、W为高度和宽度,C为通道数。
输出:
Y
=
Y
t
+
1
,
.
.
.
,
Y
t
+
10
Y^=Y^t+1,...,Y^t+10
Y=Yt+1,...,Yt+10
其中
Y
t
∈
R
H
×
W
Y^t ∈RH×W
Yt∈RH×W表示时刻t的预测
Z
H
Z_H
ZH。
2.卷积特征提取
使用卷积层提取输入的局部特征:
F
=
f
(
[
X
;
Θ
f
]
F=f([X;Θf ]
F=f([X;Θf])
其中f表示卷积运算,
Θ
f
\Theta_f
Θf为卷积层参数。
3.卷积LSTM建模时空相关性
4.转置卷积上采样
Y
=
f
T
(
[
H
;
Θ
T
]
)
Y^=fT([H;ΘT ])
Y=fT([H;ΘT])
其中
f
T
f^T
fT表示转置卷积,H为卷积LSTM输出特征,
Θ
T
\Theta_{T}
ΘT为转置卷积参数。
5.损失函数设计
代码：
import tensorflow as tf
from tensorflow.keras.layers import ConvLSTM2D, Conv2D, Conv2DTranspose
# 输入层
inputs = tf.keras.Input(shape=(10, 128, 128, 3))
# 卷积层提取特征
x = Conv2D(filters=64, kernel_size=3, activation='relu')(inputs)
x = MaxPooling2D((2, 2))(x)
from tensorflow.keras.layers import ConvLSTM2D, Conv2D, Conv2DTranspose, Attention
from tensorflow.keras import Model
inputs = Input(shape=(10, 128, 128, 3))
# 第一层卷积
x = Conv2D(64, 3, padding='same', activation='relu')(inputs)
# 第二层卷积
x = Conv2D(64, 3, padding='same', activation='relu')(x)
# 第一层卷积LSTM
x = ConvLSTM2D(64, 3, padding='same', return_sequences=True)(x)
# 第二层卷积LSTM
x = ConvLSTM2D(64, 3, padding='same', return_sequences=True)(x)
# 注意力机制
# 利用一个Dense层学习注意力权重
attn_layer = Dense(units=64, activation='tanh')(x)
# 计算注意力权重
attn_weights = Dense(units=10, activation='softmax')(attn_layer)
# 尺度注意力权重
attn_weights = Reshape((10, 1, 1, 1))(attn_weights)
# 计算注意力输出
attn_output = Multiply()([x, attn_weights])
# 转置卷积上采样
# 第1层转置卷积
x = Conv2DTranspose(filters=64, kernel_size=3, strides=2, padding='same')(attn_output)
# 第2层转置卷积
x = Conv2DTranspose(filters=32, kernel_size=3, strides=2, padding='same')(x)
# 第3层转置卷积
x = Conv2DTranspose(filters=1, kernel_size=3, strides=2, padding='same')(x)
# 构建Model
model = Model(inputs, x)
# 编译与训练
model.compile(loss='mae', optimizer='adam')
model.fit(X_train, y_train, epochs=10)
# 预测
y_pred = model.predict(X_test)
# 编译与训练
model.compile(loss='mae', optimizer='adam')
model.fit(X_train, y_train, epochs=10)
# 预测
y_pred = model.predict(X_test)
问题二
1.构建multi-scale的预报模型
在卷积LSTM模型中,同时预测不同尺度的Z_H:·低分辨率Z_H:反映大尺度的降水格局
·高分辨率Z_H:反映小尺度的降水细节2.加入先验约束
根据气象知识,加入对强降水的先验约束,例如:·强降水具有聚集性
·细胞运动遵循流场
·生命期分不同发展阶段
可以将这些先验知识以约束条件加入模型。
3.模型集成
使用多个不同的模型,对其各自的预报结果进行融合。
4.数据增强
通过旋转、翻转、添加噪声等来增强训练数据,提高模型的鲁棒性。
5.模型和训练策略优化
改进模型结构,调整损失函数,优化训练超参等。
from tensorflow.keras.layers import Input, ConvLSTM2D, UpSampling2D
from tensorflow.keras.models import Model
inputs = Input(shape=(10, 128, 128, 1))
# 低分辨率预测分支
x1 = ConvLSTM2D(filters=32, kernel_size=3, padding='same', return_sequences=True)(inputs)
x1 = BatchNormalization()(x1) # 加入BN层
x1 = ConvLSTM2D(filters=32, kernel_size=3, padding='same')(x1)
x1 = Conv2D(filters=1, kernel_size=1, padding='same')(x1)
# 高分辨率预测分支
x2 = ConvLSTM2D(filters=64, kernel_size=3, padding='same', return_sequences=True)(inputs)
x2 = BatchNormalization()(x2)
x2 = ConvLSTM2D(filters=64, kernel_size=3, padding='same')(x2)
x2 = UpSampling2D(size=(2,2))(x2) # 双线性插值上采样
x2 = Conv2D(filters=1, kernel_size=1, padding='same')(x2)
# 合并不同尺度
merged = Add()([x1, x2])
merged = BatchNormalization()(merged) # BN层融合不同分支
# 编译与训练
model.compile(loss='mse', optimizer='adam')
问题三
思路：
1.输入输出设计
输入:雷达反射率
Z
H
Z_H
ZH 和 差分反射率
Z
D
R
Z_DR
ZDR输出:预测降水量R
2.建立Z-R关系
R
=
a
∗
Z
H
b
∗
Z
D
R
c
R = a * Z_H^b * Z_DR^c
R=a∗ZHb∗ZDRc其中a,b,c为经验参数。
将问题转换为确定这三个参数。
3.参数确定
收集观测数据:从多个地区和多种降水类型收集大量三元组数据(Z_H, Z_DR, R)。
数据预处理:去除误差较大的样本,检查数据质量。标准化Z_H和Z_DR。
拟合参数:构建损失函数
L
=
∑
i
=
1
N
(
R
^
i
−
R
i
)
2
L
=
∑
i
=
1
N
(
R
i
−
R
i
)
2
\mathcal L=\sum_{i=1}^N(\hat R_i-R_i)^2L=∑i=1N (R^i −Ri )2
L=∑i=1N(R^i−Ri)2L=∑i=1N(Ri−Ri)2,其中
R
^
i
=
a
Z
H
i
b
Z
D
R
i
c
R
i
=
a
Z
H
i
b
Z
D
R
i
c
\hat R_i=aZ_{H_i}^bZ_{DR_i}^cR^i =aZHi b ZDRi c
R^i=aZHibZDRicRi=aZHibZDRic 。使用梯度下降算法学习参数a,b,c以最小化损失函数。
4.模型选择:比较不同的幂指数组合,选择拟合效果最佳的一组参数。模型检验
收集独立测试数据:保证训练数据和测试数据的地区和降水类型有所不同。
测试集预测:将测试数据Z_H和Z_DR代入学到的Z-R关系,生成降水预测
R
^
\hat R
R^。
评估指标:计算RMSE、MAE等检验预测效果。绘制散点图比较
R
^
\hat R
R^和R。
模型改进:比较不同区域和降水类型的预测效果,分析原因,进一步优化模型。
极端情况验证:使用极端降雨情况下的数据验证模型的适用范围和稳健性。
代码：
import numpy as np
from sklearn.metrics import mean_squared_error
# 收集并预处理观测数据
zh = [12, 15, 13, ...] # 反射率因子Z_H
zdr = [0.8, 1.2, 0.7, ...] # 差分反射率Z_DR
r = [10, 25, 12, ...] # 实测降水量R
# 定义Z-R关系,初始化参数
def zr_relation(zh, zdr, a, b, c):
return a * zh**b * zdr**c
# 使用最小二乘法拟合参数
def train(zh, zdr, r, a, b, c):
preds = [zr_relation(z, zd, a, b, c) for z,zd in zip(zh, zdr)]
loss = mean_squared_error(r, preds)
# 参数初始化
a, b, c = 0.01, 1.4, 0.9
# 梯度下降函数
def grad_descent(zh, zdr, r, a, b, c, lr=0.01, epochs=100):
for i in range(epochs):
# 计算损失函数
preds = [zr_relation(z, zd, a, b, c) for z, zd in zip(zh, zdr)]
loss = np.mean((preds - r)**2)
# 计算梯度
a_grad = 2 * np.mean((preds - r) * preds * (a ** (b-1)) * (c ** (c-1)))
b_grad = 2 * np.mean((preds - r) * preds * (np.log(z) * a ** b * (c ** c)))
c_grad = 2 * np.mean((preds - r) * preds * (np.log(zd) * a ** b * (c ** (c-1))))
# 参数更新
a = a - lr * a_grad
b = b - lr * b_grad
c = c - lr * c_grad
return a, b, c
# 拟合参数
a, b, c = grad_descent(zh, zdr, r, a, b, c)
# 模型评估
zh_test, zdr_test, r_test = ... # 测试数据
preds_test = [zr_relation(z, zd, a, b, c) for z, zd in
梯度下降函数
问题四
- 基准模型
Y ^ 0 = f ( X 0 ; θ 0 ) \hat{Y}_0 = f(X_0; \theta_0) Y^0=f(X0;θ0)
其中 X 0 X_0 X0为单偏振Z_H, θ 0 \theta_0 θ0为模型参数, Y ^ 0 \hat{Y}_0 Y^0为预测。
- 评估模型
Y ^ 1 = f ( X 1 ; θ 1 ) \hat{Y}_1 = f(X_1; \theta_1) Y^1=f(X1;θ1)
其中 X 1 X_1 X1包含Z_H、Z_DR、K_DP, θ 1 \theta_1 θ1为参数, Y ^ 1 \hat{Y}_1 Y^1为预测。
- 模型评估
R M S E 0 = 1 n ∑ i = 1 n ( Y i − Y ^ 0 i ) 2 RMSE_0 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(Y_i - \hat{Y}_{0i})^2 RMSE0=n1∑i=1n(Yi−Y^0i)2
R M S E 1 = 1 n ∑ i = 1 n ( Y i − Y ^ 1 i ) 2 RMSE_1 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(Y_i - \hat{Y}_{1i})^2 RMSE1=n1∑i=1n(Yi−Y^1i)2
比较 R M S E 0 RMSE_0 RMSE0和 R M S E 1 RMSE_1 RMSE1。
- 注意力机制融合
Y ^ = ∑ i = 1 m α i f i ( X i ; θ i ) \hat{Y} = \sum_{i=1}^{m}\alpha_i f_i(X_i; \theta_i) Y^=∑i=1mαifi(Xi;θi)
学习权重 α i \alpha_i αi,自适应地融合不同数据源 X i X_i Xi的预测。文章来源：https://uudwc.com/A/6zjVm
import tensorflow as tf
from tensorflow.keras import layers, models
# 1. 构建基准模型
inputs_zh = layers.Input(shape=(10, 64, 64, 1))
conv_zh = layers.Conv2D(32, 3)(inputs_zh)
lstm_zh = layers.LSTM(32)(conv_zh)
outputs_zh = layers.Dense(64*64)(lstm_zh)
base_model = models.Model(inputs_zh, outputs_zh)
# 2. 构建增强模型
inputs_dual_pol = layers.Input(shape=(10, 64, 64, 3))
conv_dual_pol = layers.Conv2D(32, 3)(inputs_dual_pol)
lstm_dual_pol = layers.LSTM(32)(conv_dual_pol)
outputs_dual_pol = layers.Dense(64*64)(lstm_dual_pol)
enhanced_model = models.Model(inputs_dual_pol, outputs_dual_pol)
# 3. 模型训练
# 载入数据
X_train, X_test = load_data()
# 数据预处理
X_train = normalize(X_train)
X_test = normalize(X_test)
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