【AI】数学基础——形式逻辑

• 将认知过程定义为对符号的逻辑运算，则AI的基础就是形式逻辑
• 谓词逻辑是知识表示的主要方法
• 基于谓词逻辑系统可以实现具有自动推理能力的人工智能
• 不完备性定理向 认知的本质是计算 这一基本理念挑战

6.1 AI与符号主义

人工智能：让具备 抽象 思考能力的程序解释合成的物质如何拥有人类的心智

• 人脑在与外界互动过程中，抽象能力是必须的，通过抽象能够把某些物理模式或符号转化成其他模式或符号。

  也即具备抽象能力的系统都有可能产生智能的行为

AI中常用的知识表示方法，数据结构和处理算法共同构成完整的知识表示体系

• 数据结构：用于静态存储待解决的问题、问题中间值、问题的最终解答，解答问题涉及的知识
• 处理算法：用于在已有问题和知识间进行动态交互

人工智能的一个重要特性是——具备抽象意义上的学习、推理与归纳能力

• 早期的人工智能研究者认为，人类认知和思维的基本单元是符号，认知的过程就是对符号的逻辑运算——人类抽象的逻辑思维过程就可以通过计算机中逻辑门的运算模拟

亚里士多德三段论：两个前提一个推论。确定了在大前提和小前提基础上推导出结论的一个形式化过程

符号推理给数理逻辑带来了深远的影响

6.2 一阶谓词逻辑

在人工智能领域常用的是一阶谓词逻辑

6.2.1 命题与谓词逻辑关系

命题逻辑 ，命题是逻辑处理的基本单位，只能对命题的真伪做出判断

命题表示法的局限性在于无法把描述对象的结构及其逻辑特征反映出来，也不能体现出不同事物的共同特征。

谓词逻辑 将命题拆分成个体词、谓词和量词

• 个体词：可以独立存在的具体或抽象的描述对象
• 谓词：用于描述个体词的属性和相互关系
• 量词：用于描述个体词的数量关系

以上三种元素可以共同构成命题

不同的命题之间可以用 逻辑联结词 建立联系，由简单命题形成复合命题

优先级从高到低排序：KaTeX parse error: Undefined control sequence: \and at position 14: \urcorner(非)>\̲a̲n̲d̲(与)>\or(或)>\rig…

6.2.2 谓词逻辑

在谓词逻辑中不但有常量符号，也可以引入变量符号、函数符号

谓词逻辑可以表示事物的概念、状态、属性等 事物性特征，也可以表示事物间 具有确定因果关系的规则性知识

• 事物性知识通常由析取，合取符号连接起来的谓词公式表示
• 规则性知识通常由蕴涵符号连接的谓词公式表示

谓词逻辑表示步骤

1. 定义谓词及个体：确定每个谓词及每个个体的含义
2. 根据要表达的事物或概念为每个谓词中的变量赋值
3. 根据所要表达的知识的语义，用适当的逻辑联结词将各个谓词连接起来

经过上述处理，抽象的知识就转化为计算机能够识别并处理的数据结构

如：所有自然数都是正整数

$N(x)$ ：$x$ 是自然数

$P(x)$ ：$x$ 是大于等于零的数

$I(x)$ ：$x$ 是整数

可以得到该命题的谓词公式 KaTeX parse error: Undefined control sequence: \and at position 32: …rightarrow P(x)\̲a̲n̲d̲ ̲I(x)

6.3 推理能力

使用形式逻辑进行知识表示只是手段，目的是让人工智能在知识的基础上实现自动化的推理、归纳和演绎，以得到新结论与新认知

推理能力是现阶段人类智能与人工智能的主要区别。

• 人类判断方式是基于少量数据的特征进行归纳与推理，以得出一般性的规律作为判断基础。
• 人工智能是基于数据学习，数据特征稍微有扰动，就会产生误判。

6.3.1 产生式系统

人工智能实现自动推理的基础是产生式系统

产生式系统以产生式的规则描述符号串代替运算，将推理和行为的过程用产生式规则表示，被早年间大多数专家系统使用

产生式规则通常用于表示事物之间的因果关系，$P\to Q$ $规则前件\to 规则后件$

• 表示在前提P下，得到结论Q
• 表示在条件P下实施动作Q

当一组产生式规则相互配合、协同作用时，生成的结论就可以作为另一个产生式规则的前提或条件使用，进而构成产生式系统

产生式系统组成

规则库 ：专家系统的核心与基础，存储着以产生式形式表示的规则集合

• 规则库中规则的完整性、准确性和合理性都对系统性能产生直接影响

事实库 ：存储着输入事实，中间结果与最终结果

• 当规则库中某条产生式的前提可与事实库中某些已知事实匹配时，会激活该产生式
• 产生式的结论也会作为已知事实存储在事实库中

推理机 ：用于控制和协调规则库与事实库运行的程序

• 推理方式+控制策略

推理方式

正向推理 ：自底向上推理，从已知事实触发，通过在规则库中不断选择匹配的规则前件，通过产生式得到规则后件，进而得到目标结论

反向推理 ：自顶向下推理，从目标假设出发，通过不断用规则库中的后件与已知事件匹配，选择出匹配的规则前件，进而回溯至已知事实

双向推理 ：推理从自顶向下和自底向上两个方向进行，直到在某个中间点汇合

6.3.2 自动推理机分析

自动推理在数学定理证明上有很强大能力，但解决日常问题谈不上智能，原因在于常识的缺失。对于人类而言，常识是通过社会化成长过程实现的

计算机无法像人类一样在成长中达成理解，需要以形式化的方式灌输到硬盘与内存中。但常识性知识的表达与组织存在难以想象的困难。

形式逻辑的本质问题——哥德尔不完备性定理

第一不完备性定理 ：在任何包含初等数论的形式系统中，都必定存在一个不可判定的命题

哥德尔：公理化系统的问题在于——对于自指的无能为力
$$本数学命题不可被证明$$
对于上述命题既不能证实，也不能证伪

数学公理化系统同时具备一致性和完备性是不可能的

认知可计算主义局限性

不完备性定理对人工智能的影响在于对 认知的本质是计算 的理解

基于计算机的人工智能若要建立起类人类智能，则必须建立起“自我”的概念，进而导致自指的自指的出现，通过计算机无法证实也无法证伪自指命题

正是在哥德尔不完备性定理的影响下，以形式逻辑为依据的符号主义学派走向没落

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