线性代数｜证明：矩阵特征值之和等于主对角线元素之和

性质 1　设 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}=(a_{ij})$ 的特征值为 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$，则 ${\lambda }_1+{\lambda }_2+\cdots +{\lambda }_n=a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn}$。

证明　不妨设矩阵 $\mathbf{A}$ 的特征多项式为
f ( λ ) = ∣ A − λ E ∣ = ∣ a 11 − λ a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 − λ ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n − λ ∣ = k 0 + k 1 λ + ⋯ k n λ n (1) f(\lambda) = |\boldsymbol{A} - \lambda \boldsymbol{E}| = \begin{vmatrix} a_{11} - \lambda & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} - \lambda & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} - \lambda \\ \end{vmatrix} = k_0 + k_1 \lambda + \cdots k_n \lambda^n \tag{1} f(λ)=∣A−λE∣= ​a11​−λa21​⋮an1​​a12​a22​−λ⋮an2​​⋯⋯⋯​a1n​a2n​⋮ann​−λ​ ​=k0​+k1​λ+⋯kn​λn(1)
因为矩阵 $\mathbf{A}$ 的特征值 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$ 是特征方程 $f(\lambda )=0$ 的 $n$ 个解，所以上式 $(1)$ 可以写成
$$f(\lambda )=({\lambda }_1-\lambda )({\lambda }_2-\lambda )\cdots ({\lambda }_n-\lambda )\text{\hspace{1em}(2)}$$
根据韦达定理可知，上式 $(2)$ 中 ${\lambda }^{n-1}$ 的系数 $k_{n-1}={\lambda }_1+{\lambda }_2+\cdots +{\lambda }_n$。

因为在行列式 $|\mathbf{A}-\lambda \mathbf{E}|$ 中，除主对角线对应的项以外，其他项展开后关于 $\lambda$ 的最高项均小于等于 $n-2$ 次；所以，若要得到 ${\lambda }^{n-1}$ 项，只能通过主对角线对应的项得到。主对角线对应的项为
$$(a_{11}-\lambda )(a_{22}-\lambda )\cdots (a_{nn}-\lambda )\text{\hspace{1em}(3)}$$
因为上式 $(3)$ 中 ${\lambda }^{n-1}$ 的系数即式 $(1)$ 中 ${\lambda }^{n-1}$ 的系数 $k_{n-1}$，根据韦达定理，有 $k_{n-1}=a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn}$。

综上所述，有
$${\lambda }_1+{\lambda }_2+\cdots +{\lambda }_n=k_{n-1}=a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn}$$
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