空间坐标（系）如何进行变换？

0.引言

  要描述某一物体在现实场景的位置，通常以三维空间坐标系下的坐标进行说明，当物体位置或自身进行变化时，可以用放射变换说明物体的变化情况。仿射变换中的基本变换包括平移、旋转、缩放、剪切。本文研究的物体为刚体，涉及的变换为平移和旋转，下文将以平移和旋转变换分别说明二维平面和三维空间坐标（系）如何进行空间变换。矩阵变换从右往左进行左乘,，坐标系符合右手定则，满足右手定则的方向为旋转正方向。

1.二维平面坐标（系）变换

  根据现实情况，坐标系和物体可以相互描述，即二维平面坐标（系）变换的情况包括一个二维平面坐标系描述一个物体（坐标）变换情况和一个物体（坐标）在两个二维平面坐标系间的变换情况。

（1）一个二维平面坐标系描述一个物体（坐标）变换情况

  ①先平移，后旋转
  
  ②先旋转，后平移
  

（2）一个物体（坐标）在两个二维平面坐标系间的变换情况

  
  ①坐标系1→坐标系2
  
  ②坐标系2→坐标系1
  

2.三维空间坐标（系）变换

  根据现实情况，坐标系和物体可以相互描述，即三维空间坐标（系）变换的情况包括一个三维空间坐标系描述一个物体（坐标）变换情况和一个物体（坐标）在两个三维空间坐标系间的变换情况。
  三维空间坐标（系）变换较为复杂，变换关系图类似二维空间坐标（系）变换，以下给出变换公式。
  旋转变换基础公式Rx，Ry，Rz如下（以下适用于两个坐标系间旋转，若在一个坐标系下旋转一个物体，变量取负值）：
  

（1）一个三维空间坐标系描述一个物体（坐标）变换情况

  ①先平移，后旋转
  
  ②先旋转，后平移
  

（2）一个物体（坐标）在两个三维空间坐标系间的变换情况

  ①坐标系1→坐标系2
  
  ②坐标系2→坐标系1
  

参考资料：
[1] CodeIsCoding. 二维坐标系下的坐标旋转平移; 2020-03-21 [accessed 2023-04-13].
[2] 莫水千流. 旋转变换（一）旋转矩阵; 2017-11-16 [accessed 2023-04-13].
[3] 你不来我不老. 三维空间坐标系变换-旋转矩阵; 2018-09-03 [accessed 2023-04-13].
[4] . Maths - Rotation Matrices; [accessed 2023-04-13].
[5] 翰墨小生. 绕任意轴旋转 ; 2012-08-10 [accessed 2023-04-13].
[6] . Rotation about an Arbitrary Axis (Line); [accessed 2023-04-13].文章来源地址https://uudwc.com/A/VdAZ