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第五章 相似矩阵及二次型
&2）方阵的特征值与特征向量
&3）相似矩阵
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第五章 相似矩阵及二次型
&2）方阵的特征值与特征向量
定义6:设A是n阶矩阵，如果数?和n维非零列向量x使关系式
Ax=?x（1）
成立，那么，这样的数?称为矩阵A的特征值，非零向量x称为A的对应于特征值?的特征向量
（1）式也可写为
(A-?E)x=0
这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式
｜A-?E｜=0
特征值的性质：
设n阶矩阵A=a[I][j]的特征值为?[1],?[2],…,?[n]
（i）?[1]+?[2]+…+?[n]=a[1][1]+a[2][2]+…+a[n][n]
（ii）?[1]?[2]…?[n]=|A|
定理2 设?[1],?[2],…,?[m]是方阵A的m个特征值，p[1],p[2],..,p[m]依次是与之对应的特征向量，如果?[1],?[2],…,?[m]各不相等，则p[1],p[2],..,p[m]线性无关
推论 设?[1]，?[2]是方阵A的两个不同特征值，?[1],?[2],...,?[s]和?[1],?[2],…,?[t]分别是对应于?[1]和?[2]的线性无关的特征向量，?[1],?[2],...,?[s],?[1],?[2],…,?[t]线性无关
&3）相似矩阵
定义7:设A,B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P,使
P^-1AP=B
则称B是A的相似矩阵，或说矩阵A与B相似，对A进行运算P^-1AP称为对A进行相似变换，可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵
定理3 若n阶矩阵A与B相似，则A与B的特征多项式相同，从而A与B特征值也相同
推论：若n阶矩阵A与对角阵
相似，则?[1]?[2]…?[n]即是A的n个特征值
定理4 n阶矩阵A与对角矩阵相似（即A能对角化）的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量
推论 如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等，则A与对角阵相似（如果特征值相等，也可能A与对角阵相似，看这个相等的特征值对应的特征向量，如果一共有n个特征向量，A与对角阵相似（特征向量就是基础解系））
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