设n阶矩阵 A A A 的特征值为 λ 1 , λ 2 , . . , λ n \lambda_1, \lambda_2,..,\lambda_n λ1,λ2,..,λn，则 λ 1 λ 2 ⋯ λ n = ∣ A ∣ 。 \lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n = |A|。 λ1λ2⋯λn=∣A∣。
证明：
矩阵
A
A
A 的特征多项式为：
f
(
λ
)
=
∣
λ
E
−
A
∣
=
∣
λ
−
a
11
−
a
12
⋯
−
a
1
n
−
a
21
λ
−
a
22
⋯
−
a
2
n
⋮
⋮
⋱
⋯
−
a
n
1
−
a
n
2
⋯
λ
−
a
n
n
∣
f(\lambda) = |\lambda E - A| = \begin{vmatrix} \lambda-a_{11}&-a_{12} & \cdots & -a_{1n} \\ -a_{21} & \lambda-a_{22} & \cdots & -a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \cdots \\ -a_{n1} & -a_{n2} & \cdots & \lambda - a_{nn} \end{vmatrix}
f(λ)=∣λE−A∣=
λ−a11−a21⋮−an1−a12λ−a22⋮−an2⋯⋯⋱⋯−a1n−a2n⋯λ−ann
它是一个关于
λ
\lambda
λ 的
n
n
n 次多项式，所以不妨设：
f
(
λ
)
=
k
0
+
k
1
λ
+
⋯
+
k
n
λ
n
f(\lambda) = k_0 + k_1\lambda+\cdots+k_n\lambda^n
f(λ)=k0+k1λ+⋯+knλn
又矩阵 A A A 的特征值为 λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ n \lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n λ1,λ2,⋯,λn，即特征方程 f ( λ ) = 0 f(\lambda) = 0 f(λ)=0 的 n n n 个解为 λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ n \lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n λ1,λ2,⋯,λn，所以 f ( λ ) f(\lambda) f(λ) 可以写成：
f ( λ ) = ( λ − λ 1 ) ( λ − λ 2 ) ⋯ ( λ − λ n ) f(\lambda) = (\lambda-\lambda_1)(\lambda-\lambda_2)\cdots(\lambda - \lambda_n) f(λ)=(λ−λ1)(λ−λ2)⋯(λ−λn)
根据上面的式子我们就能得到 λ \lambda λ 的 0次项系数为：
k 0 = ( − 1 ) n λ 1 λ 2 ⋯ λ n k_0 = (-1)^n\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n k0=(−1)nλ1λ2⋯λn
将 λ = 0 \lambda=0 λ=0 代入特征多项式 ∣ λ E − A ∣ |\lambda E-A| ∣λE−A∣ 得 ∣ − A ∣ = k 0 |-A| = k_0 ∣−A∣=k0 ，又 ∣ − A ∣ = ( − 1 ) n ∣ A ∣ |-A| = (-1)^n|A| ∣−A∣=(−1)n∣A∣，我们就可以得到：
( − 1 ) n λ 1 λ 2 ⋯ λ n = ( − 1 ) n ∣ A ∣ (-1)^n\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n = (-1)^n|A| (−1)nλ1λ2⋯λn=(−1)n∣A∣
消去两边的 ( − 1 ) n (-1)^n (−1)n我们就可以得到：文章来源：https://uudwc.com/A/ePZ1m
λ 1 λ 2 ⋯ λ n = ∣ A ∣ \lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n = |A| λ1λ2⋯λn=∣A∣文章来源地址https://uudwc.com/A/ePZ1m
