C++数据结构之平衡二叉搜索树（一）——AVL的实现（zig-zag/左右双旋/3+4重构）

00.BBST——平衡二叉搜索树

本文是介绍众多平衡二叉搜索树（BBST）的第一篇——介绍AVL树。故先来引入BBST的概念。由于上一篇介绍的二叉搜索树（BST）在极度退化的情况下，十分不平衡，不平衡到只朝一侧偏，成为一条链表，复杂度可达$O(n)$，所以我们要在“平衡”方面做一些约束，以防我们的树结构退化得那么严重。

具体来说，含$n$个节点，高度为$h$的BST，若满足$h=O(lo{g}_{2}n)$，则称为称为平衡二叉搜索树。

01.AVL树

AVL树是一种BBST（稍后会证明）。它约束自己是否平衡，主要靠一个指标——平衡因子。定义：平衡因子=左子树高度-右子树高度。如果满足$-2<全部平衡因子<2$，则该AVL树处于平衡状态；否则，需要靠一系列措施，将其恢复平衡。

首先先证明AVL树满足BBST的要求，即$h=O(lo{g}_{2}n)$（下式）。我们可转而证明n=Ω(Φ^h)（即，AVL的节点数不会太少）

结论：高度为h的AVL Tree 至少有 fib((h+3)-1 个节点
证明：

02.AVL的插入

插入一个节点会导致一串祖先的失衡,删除一个节点至多导致一个祖先失衡。但是，通过后续代码就可发现，删除节点比插入节点复杂的多。原因是，插入节点只要调整好了一处，这条路径上的所有祖先都可平衡，复杂度是O(1)。而删除节点是，调整好了一处平衡，另一处就会不平衡，自下而上层层调整，复杂度是O(n)。

2.1单旋——zig 与 zag

zig 与 zag 分别对应右单旋和左单旋。单旋的操作改变的是两个节点的相对位置。改变的是三条线：一上一下一子树。新树根上行指向原根，新树根原子树给到原根。如下图，V到Y那去，Y到C那去。

2.2插入节点后的单旋实例

在下图处添加一个节点，自上而下更新高度（或平衡因子），g会率先进入不平衡状态。观察g，p，v呈一条线，而非“之”字，所以用单旋调整（之字形对应双旋）。具体来说，对g左单旋。

2.3手玩小样例

例题：将1，2，3，4，5，6依次插入空的AVL Tree，最终AVL Tree长成什么样？

过程：
首先正常插入1，2；插入3时，1是第一个发现不平衡的节点，zag(1)，即对1进行左单旋，成功解决；正常插入4

插入5时，3是第一个发现不平衡的节点，zag(3)，即对3进行左单旋，成功解决

插入6时，2是第一个发现不平衡的节点，zag(2)，即对2进行左单旋，成功解决

2.4双旋实例

双旋的操作改变的是三个节点的相对位置。分为两种情况——zig-zag与zag-zig。

在下图处添加一个节点，自上而下更新高度（或平衡因子），g会率先进入不平衡状态。观察g，p，v呈“之”字，所以用双旋。具体来说，先zig§，再zag(g).

2.5小结

AVL树中插入节点引发失衡，经旋转调整后重新平衡，此时包含节点g,p,v的子树高度是不变的，子树高度复原，更高祖先也必平衡，全树复衡。故在AVL树中修正插入节点引发的失衡不会出现失衡传播。

03.AVL的删除

删除一个节点至多导致一个祖先失衡。

3.1单旋删除

3.2双旋删除

3.3小结

AVL树中删除节点引发失衡，经旋转调整后重新平衡，此时包含节点g,p,v的子树高度有可能不变也有可能减小1，故在AVL树中修正删除节点引发的失衡有可能出现失衡传播。

04.3+4重构

通过观察以上插入和删除的结果示意图，发现结构是一样的——三个节点按顺序呈三角形，四个子树按原来的顺序分别挂在两个孩子节点的下边。（如下图）

那我们就不必关注具体的技巧了，而是将三个节点和四个子树拆开，像暴力组装魔方那样（先拆散）拼上。

05.综合评价AVL

5.1优点

1. 查找、插入、删除，最坏时间复杂度为$O(logn)$
2. $O(n)$的存储空间

5.2缺点

1. 需要额外维护高度或平衡因子这一指标（后续Splay Tree可改善这一问题）
2. 删除操作后，最多需旋转$\Omega (logn)$次
3. 单次动态调整后，全树拓扑结构的变化量可能高达$\Omega (logn)$ （RedBlack Tree可缩到$O(1)$）

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