对自动控制原理的模值和相角公式的一点总结

前言

最近在看自控的时候，遇到一些问题，记录一下。

过程

首先，来看一下题目

模值条件：$$K^{\ast }=\frac{{\prod }_{i=1}^n\mid s-p_i\mid }{{\prod }_{j=1}^m\mid s-z_j\mid }$$

相角条件：$$\sum _{j=1}^m\angle (s-z_j)-\sum _{i=1}^n\angle (s-p_i)=(2k+1)\pi ，k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots$$

先说相角条件，我们知道根轨迹上所有的点都必须满足到零点的角度和减去到极点的角度和等于$(2k+1)\pi$，其中$z_j$代表开环零点、 $p_i$代表开环极点，式子中的$s$即为所要判断的点，此处为$s_1$。我们可以从传递函数中看到没有开环零点，极点为$p_1=-1$，$p_2=-2$ ， $p_3=-4$。
根据相角条件，有
$$\sum _{j=1}^m\angle (s-z_j)=0，（没有开环零点）$$
将$s_1=-1+j\sqrt{3}$代入$-{\sum }_{i=1}^n\angle (s-p_i)$，则有
$$\begin{gathered} -\angle (s_1-(-1))-\angle (s_1-(-2))-\angle (s_1-(-4)) \\ =-\angle (j\sqrt{3})-\angle (1+j\sqrt{3})-\angle (3+j\sqrt{3}) \end{gathered}$$
然后就涉及到求复数的辐角了，一般情况下，复数是$a+bi$，在工程上用$j$代替$i$，写成$a+bj$。

复数的辐角可以有无穷多个值，为了简便，所以我们要取其中一个值作为主辐角值，公式如下，

反正切函数的一些特殊值如下，

我们只要把主值求出来就可以了，则有，
$$\begin{gathered} -\angle (j\sqrt{3})-\angle (1+j\sqrt{3})-\angle (3+j\sqrt{3}) \\ =-\arctan (\frac{\sqrt{3}}{0})-\arctan (\frac{\sqrt{3}}{1})-\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3}) \\ =-90°-60°-30°=-180° \end{gathered}$$
所以$s_1$点在根轨迹上。
这让我想到频率域的相角也是这样求，零点减去极点，这就是复数的性质，幅值（模值）相乘（相除），辐角（相角）相加（相减）。

然后我们再来说模值条件，因为题目中开环零点没有，可以将分母看成1 （后面有解释），则根据上面复数模的图，将$s_1=-1+j\sqrt{3}$代入，我们可以得到
$$\begin{gathered} K^{\ast }=\mid s_1+1\mid \cdot \mid s_1+2\mid \cdot \mid s_1+4\mid \\ =\mid j\sqrt{3}\mid \cdot \mid 1+j\sqrt{3}\mid \cdot \mid 3+j\sqrt{3}\mid =12 \end{gathered}$$
有一个问题要注意，我们得到的$K^{\ast }$ 是根轨迹增益，查阅资料，就可以知道开环传递函数写成时间常数形式（每个因式中常数项为1）时的增益叫开环增益；开环传递函数写成零极点形式（每个因式中s前面的系数为1）时的增益叫根轨迹增益。一般情况下，绘制根轨迹时写成零极点的形式，此时的增益是根轨迹增益。
我们结合图中的传递函数可知$k$就是$K^{\ast }$ ，但是只要把传递函数变成尾一型，所得的就是开环增益
所以系统的开环增益$K=\frac{K^{\ast }}{1\times 2\times 4}$，把常数项除出来。

模值条件分母为1

开环传递函数为$$G(s)H(s)=\frac{1}{s+1}$$
零极点模型为$$G(s)H(s)=\frac{K^{\ast }}{{\prod }_{i=1}^n\mid s-p_i\mid }$$
也就是说，当开环传递函数没有开环零点时，模值条件分母可为1。

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参考文章
要想正确画出根轨迹，先搞清楚这8大法则再说！
根轨迹的幅值条件与相角条件必须掌握
根轨迹模值零点文章来源地址https://uudwc.com/A/ykPNy