线性代数｜矩阵可交换的定义和性质

前置知识：

• 矩阵的运算

在矩阵的乘法中，矩阵相乘的顺序是有意义的。

$\mathbf{A}\mathbf{B}$ 是 $\mathbf{A}$ 左乘 $\mathbf{B}$ 的乘积，$\mathbf{B}\mathbf{A}$ 是 $\mathbf{A}$ 右乘 $\mathbf{B}$ 的乘积。$\mathbf{A}\mathbf{B}$ 和 $\mathbf{B}\mathbf{A}$ 之间可能存在如下关系：

• $\mathbf{A}\mathbf{B}$ 和 $\mathbf{B}\mathbf{A}$ 都没有意义；
• $\mathbf{A}\mathbf{B}$ 有意义但 $\mathbf{B}\mathbf{A}$ 没意义；$\mathbf{B}\mathbf{A}$ 有意义但 $\mathbf{A}\mathbf{B}$ 没意义；
• $\mathbf{A}\mathbf{B}$ 和 $\mathbf{B}\mathbf{A}$ 均有意义，但 $\mathbf{A}\mathbf{B}$ 和 $\mathbf{B}\mathbf{A}$ 不是同型矩阵（例如 $\mathbf{A}$ 是 $m\times n$ 矩阵，$\mathbf{B}$ 是 $n\times m$ 矩阵）；
• $\mathbf{A}\mathbf{B}$ 和 $\mathbf{B}\mathbf{A}$ 均有意义，且 $\mathbf{A}\mathbf{B}$ 和 $\mathbf{B}\mathbf{A}$ 是同阶方阵，但仍不等于 $\mathbf{A}\mathbf{B}\ne \mathbf{B}\mathbf{A}$；
• $\mathbf{A}\mathbf{B}$ 和 $\mathbf{B}\mathbf{A}$ 均有意义，且 $\mathbf{A}\mathbf{B}$ 和 $\mathbf{B}\mathbf{A}$ 是同阶方阵，且 $\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{B}\mathbf{A}$。

综上所述，在一般情形下，矩阵的乘法不满足交换律，即 $\mathbf{A}\mathbf{B}\ne \mathbf{B}\mathbf{A}$。于是，引出矩阵可交换的定义如下：

定义（矩阵可交换）　对于两个 $n$ 阶方阵 $\mathbf{A}$、$\mathbf{B}$，若 $\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{B}\mathbf{A}$，则称方阵 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}$ 是 可交换 的。

根据定义，显然有如下性质：

首先讨论与任何同阶方阵均可交换的矩阵。有定理如下：

定理 1　单位矩阵与任何同阶方阵都是可交换的。

证明　因为单位矩阵 $E$ 满足 ${\mathbf{E}}_m{\mathbf{A}}_{m\times n}={\mathbf{A}}_{m\times n}$ 和 ${\mathbf{A}}_{m\times n}{\mathbf{E}}_n={\mathbf{A}}_{m\times n}$，所以有
$${\mathbf{E}}_n{\mathbf{A}}_n={\mathbf{A}}_n={\mathbf{A}}_n{\mathbf{E}}_n$$
得证。

将上述定理 1 中的单位矩阵推广到纯量阵。有定理如下：

定理 2　纯量阵与任何同阶方阵都是可交换的。

证明　因为纯量阵 $\lambda \mathbf{E}$ 满足 $(\lambda \mathbf{E})\mathbf{A}=\lambda \mathbf{A}$ 和 $\mathbf{A}(\lambda \mathbf{E})=\lambda \mathbf{A}$，所以有
$$(\lambda {\mathbf{E}}_n)\mathbf{A}=\lambda {\mathbf{A}}_n={\mathbf{A}}_n(\lambda {\mathbf{E}}_n)$$
得证。

因为矩阵乘法满足结合律和分配律，又因为矩阵 $\mathbf{A}$ 的幂之间也是可交换的，所以矩阵 $\mathbf{A}$ 的任意两个多项式之间是可交换的。首先，将矩阵 $\mathbf{A}$ 的幂之间也是可交换的作为引理提出及证明如下：

引理 1　方阵 ${\mathbf{A}}^k$ 和 ${\mathbf{A}}^l$ 是可交换的。

证明　矩阵的幂满足 ${\mathbf{A}}^k{\mathbf{A}}^l={\mathbf{A}}^{k+l}={\mathbf{A}}^l{\mathbf{A}}^k$。得证。

下面证明矩阵 $\mathbf{A}$ 的任意两个多项式之间是可交换的。

定理 3　矩阵 $\mathbf{A}$ 的两个多项式 $\phi (\mathbf{A})$ 和 $f(\mathbf{A})$ 是可交换的，即总有
$$\phi (\mathbf{A})f(\mathbf{A})=f(\mathbf{A})\phi (\mathbf{A})$$

证明　不妨设 $\phi (\mathbf{A})$ 是矩阵 $\mathbf{A}$ 的 $m_1$ 次多项式，$f(\mathbf{A})$ 是矩阵 $\mathbf{A}$ 的 $m_2$ 次多项式，令 $m=\max (m_1,m_2)$，于是 $\phi (\mathbf{A})$ 和 $f(\mathbf{A})$ 可以表示为
$$\begin{array}{r}\phi (\mathbf{A})=a_0\mathbf{E}+a_1\mathbf{A}+\cdots a_m{\mathbf{A}}^m\\ f(\mathbf{A})=b_0\mathbf{E}+b_1\mathbf{A}+\cdots b_m{\mathbf{A}}^m\end{array}$$
于是根据矩阵乘法的分配律，有
$$\begin{array}{rl}\phi (\mathbf{A})f(\mathbf{A})=& (a_0\mathbf{E}+a_1\mathbf{A}+\cdots a_m{\mathbf{A}}^m)(b_0\mathbf{E}+b_1\mathbf{A}+\cdots b_m{\mathbf{A}}^m)\\ =& (a_0\mathbf{E}\cdot b_0\mathbf{E}+a_0\mathbf{E}\cdot b_1\mathbf{A}+\cdots +a_0\mathbf{E}\cdot b_m{\mathbf{A}}^m)\\ & +(a_1\mathbf{A}\cdot b_0\mathbf{E}+a_1\mathbf{A}\cdot b_1\mathbf{A}+\cdots +a_1\mathbf{A}\cdot b_m{\mathbf{A}}^m)\\ & +\cdots \\ & +(a_m{\mathbf{A}}^m\cdot b_0\mathbf{E}+a_m{\mathbf{A}}^m\cdot b_1\mathbf{A}+\cdots +a_m{\mathbf{A}}^m\cdot b_m{\mathbf{A}}^m)\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$
因为定理 2，所以上式 $(1)$ 中所有包含 $\mathbf{E}$ 的项，满足
$$\begin{array}{r}{a}_i\mathbf{E}\cdot b_j{\mathbf{A}}^k=b_j{\mathbf{A}}^k\cdot a_i\mathbf{E}\\ a_i{\mathbf{A}}^k\cdot b_j\mathbf{E}=b_j\mathbf{E}\cdot a_i{\mathbf{A}}^k\end{array}\text{\hspace{1em}(2)}$$
因为引理 1 和矩阵乘法的结合律，所以上式 $(1)$ 中所有只包含 $\mathbf{A}$ 的幂的项，满足
$$a_i{\mathbf{A}}^k\cdot b_j{\mathbf{A}}^l=b_j{\mathbf{A}}^l\cdot a_i{\mathbf{A}}^k\text{\hspace{1em}(3)}$$
将式 $(2)$ 和 $(3)$ 代入式 $(1)$，则有
$$\phi (\mathbf{A})f(\mathbf{A})=f(\mathbf{A})\phi (\mathbf{A})$$
得证。文章来源地址https://uudwc.com/A/zkp3e